§ 2. Экономическая интерпретация задачи линейного программирования

Экономическое истолкование задачи линейного программирования целесообразно дать на примере.

Допустим,что некоторое предприятие согласно своему производственному профилю в разных количествах может выпускать n различных видов изделий, причем изделий первого вида x₁ единиц, второго вида x₂ единиц и т. д., изделий n-го вида x_n единиц. Предприятию отпускается m различных видов сырья в количествах b₁, b₂, ..., b_m для изготовления этих n видов изделий. Обозначим через a₁₁ количество сырья b₁, которое идет на изготовление одного изделия первого вида, через a₁₂ - количество сырья b₁, которое идет на изготовление одного изделия второго вида, и т. д. Таким образом, a_ij есть количество i-го вида сырья, которое идет на изготовление одного изделия j-го вида. Некоторые из чисел a_ij, конечно, могут быть равны нулю, некоторые изделия x_j в данное время могут не выпускаться, т. е. в этом случае x_j = 0; однако ни a_ij, ни x_j не могут быть отрицательными.

Сравнивая затраты каждого вида сырья на изготовление всех изделий с имеющимся количеством сырья, приходим к системе неравенств

(1.4)

где x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ..., x_n ≥ 0.

Эти неравенства выражают тот факт, что затраты сырья не могут превосходить его наличия.

Далее обозначим через c₁ прибыль от производства одной единицы продукции первого вида, c₂ - прибыль от продукции второго вида и т. д. Суммарная прибыль от производства всех изделий составит f = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n. Требуется построить такой план выпуска продукции, который обеспечит производству максимальный доход.

Итак, сформулированная таким образом задача планирования производства непосредственно приводит нас к задаче линейного программирования.