3. Игровые модели экономики

До сих пор изложение теории игр было у нас довольно далеким от экономики, если, конечно, не считать, что "выигрыш" и "проигрыш", когда они выражают некие денежные суммы, могут рассматриваться как экономические термины. Но настала пора покинуть мир абстрактных математических моделей и ступить на конкретную почву хозяйственных связей и отношений.

Пусть экономическая система состоит из n предприятий и каждое из них выступает и в роли поставщика, и в роли потребителя. Например, предприятие k характеризуется множеством производственных возможностей Q_k. Элементы этого множества - векторы x_k - определяют количества затрачиваемых и выпускаемых ингредиентов (отрицательные компоненты определяют затраты а положительные - выпуск). Таким образом, хозяйственная самостоятельность предприятия моделируется возможностью выбора векторов x_k из множества Q_k.

Однако такое описание недостаточно. Ведь предприятие к, так же как и все остальные предприятия, не независимо. Между предприятиями существуют определенные связи, а также имеются общие ограничения, характеризующие систему в целом. Такие ограничения можно представить как

где x=(x₁, ..., x_n), A(x) - известная вектор-функция, а b - s-мерный заданный вектор. За соблюдение общих ограничений отвечает (n+1)-й участник экономической системы - некий планирующий орган (назовем его ПО).

Каждый участник экономической системы имеет свою цель. ПО стремится обеспечить максимально возможную прибыль в масштабах всей системы φ(x)=φ(x₁, ..., x_n). Предприятия же хотят максимизировать свои прибыли, исчисленные по существующим ценам. Налицо конфликтная ситуация - каждое предприятие заинтересовано в повышении цен на свою продукцию и в снижении цен на потребляемые ингредиенты. Какую же стратегию следует выбирать каждому предприятию, т. е. какие векторы затрат и выпуска выбирать и как назначать цены на продукцию?

Если сделать ряд сугубо математических предположений относительно вида различных множеств и функций, упомянутых в описании экономической ситуации, то можно доказать следующий интересный факт. В данной модели существуют равновесные стратегии для каждого предприятия (отклонение от которых не выгодно никому), а также соответствующие им цены (которые устанавливаются ПО) на все ингредиенты, производимые и потребляемые в системе.

Отыскание равновесных стратегий может быть организовано в виде следующего многошагового процесса. На каждом шаге ПО назначает цены на все ингредиенты, имеющиеся в системе, и предлагает предприятиям выбирать такие производственные программы, которые при этих ценах максимизируют их прибыль. Предприятия решают свои локальные задачи максимизации и сообщают оптимальные решения в ПО. На основании полученной информации ПО уточняет локальные ограничения и определяет лучший план и новые цены. Далее процесс повторяется. Если на двух последующих шагах планы предприятий не изменятся, значит найдено оптимальное решение. В противном случае каждый следующий шаг ведет к увеличению глобальной прибыли системы.

Рассмотренная ситуация довольно условна. Чтобы сделать ее немного реалистичнее, нужно привлечь более сложный и более тонкий аппарат теории игр.

Пусть имеется n предприятий, производящих n различных продуктов. Предприятие j выбирает свой производственный план y_j из множества возможных планов Y_j. Наряду с предприятиями имеются и потребители, которые покупают продукты по ценам p₁, p₂, ..., p_s. Множества x_i(i = 1, 2, ..., m) - наборы различных продуктов, доступные i-му потребителю. Предполагается, что предпочтение, которое i-й потребитель оказывает различным наборам продуктов, устанавливается функцией предпочтения U_i(x), где x - выбранный набор. Будем считать, что вся прибыль предприятий выплачивается потребителям таким образом, что i-й потребитель получает долю α_ij прибыли j-го предприятия. Понятно, что

Налицо конфликтная ситуация. С одной стороны - предприятия, стремящиеся максимизировать свою прибыль, заинтересованы в повышении цен. С другой стороны - потребители, стремящиеся максимизировать полезность приобретенных продуктов в условиях ограниченности средств, заинтересованы в снижении цен. Какой стратегии должна следовать каждая из сторон?

Делая ряд предположений относительно множеств Y_j, X_i и функции предпочтения U(x), возможно доказать следующий факт - для описываемой модели существует конкурентное равновесие. Это означает, что можно найти такие величины ₁, ₈, ₁, ..., _m, ₁, ..., _n, которые удовлетворяют следующим условиям:

(1)

(здесь y_kj - количество k-го продукта, выпускаемое в j-м производственном плане. Равенство утверждает, что прибыли предприятий максимальны, когда в качестве цен назначены равновесные цены).

Набор _i при всех i максимизирует U_i(x) на множестве

(2)

(здесь x_ki - количество k-го продукта в наборе потребления x i-ro потребителя. Это условие означает, что i-й потребитель максимизирует пользу от приобретаемых им продуктов по таким наборам этих продуктов, которые, во-первых, принадлежат множеству доступных для него наборов, а, во-вторых, приобретение их укладывается в имеющиеся у него финансовые ресурсы).

(3)

при всех k. Кроме того,

(спрос должен быть удовлетворен. Если же какого-нибудь продукта производится больше, чем требуется, то цена его равна нулю).

Итак, состояние равновесия в экономике - это такое положение, когда ни одно предприятие не может добиться большей прибыли при сложившихся ценах и ни один потребитель не может приобрести больше без дополнительных затрат. "Игрокам" не выгодно отклоняться от своих оптимальных смешанных стратегий.

Описанная модель принадлежит известным американским математикам-экономистам Эрроу и Дебре. Ситуация, которая формулируется ею, несколько более реалистична, чем та, что рассматривалась в начале параграфа. Однако и эта ситуация достаточно условна. Вообще игровые модели экономики имеют пока не столько практическое, сколько методологическое значение. Они, пожалуй, только еще прокладывают пути, которые в будущем найдут широкое использование в управлении процессом общественного производства.