Введение

Одним из главных направлений совершенствования управления экономикой является создание и внедрение автоматизированных систем управления (АСУ), охватывающих различные уровни и функции управления народным хозяйством^*. При создании АСУ наиболее полис реализуются принципы системного метода проектирования, интегрированные системы обработки данных, требования оптимизации информационных потоков на всех этапах их преобразования. Техническую основу АСУ составляют электронные вычислительные машины, средства дистанционной передачи информации, оргтехника. Все это является техническим обеспечением АСУ Исключительно большое значение в настоящее время приобрело также математическое обеспечение АСУ.

^* (См.: Материалы XXIV съезда КПСС. М. Политиздат, 1971.)

Математическое обеспечение относится к числу новейших понятий такой области знаний, где сейчас особенно интенсивно проводятся поисковые, экспериментальные и исследовательские работы. Под влиянием разработки АСУ стали обнаруживаться недостатки не только методов традиционного решения экономических задач, но и методов, основанных на применении отдельных частных экономико-математических моделей. Для начальной стадии применения ЭВМ в области экономики локальное использование экономико-математических методов было вполне оправданным. Оно позволило решить две принципиально важные задачи. С одной стороны, было доказано, что экономико-математические методы позволяют значительно глубже проникнуть в сущность экономических процессов и тем самым полнее использовать резервы производства. С другой стороны, оно способствовало тому, что был вызван процесс глубоких психологических изменений в сознании экономистов и хозяйственных руководителей, оценивших по достоинству возможности этих методов.

Научная обоснованность управления, таким образом, во многом зависит сегодня от степени использования экономико-математических моделей и методов, электронной вычислительной техники, от правильного выбора критериев оптимизации производства. Познание нового типа закономерностей - закономерностей управления сложными динамическими системами в сфере экономики будет способствовать успешному решению задачи интенсификации социалистического производства и повышения его эффективности.

Настоящая работа имеет своей целью дать достаточно последовательное описание ряда основных методов математического программирования, получивших в последнее время широкое распространение на практике при решении различных задач планирования, управления и экономического анализа. С должным эффектом эти методы могут применяться также в каналах обратной связи, которые в системах экономического управления воспроизводятся оперативным, бухгалтерским и статистическим учетом.

Раздел прикладной математики, называемый математическим программированием, занимается разработкой методов решения задач оптимизации и является математической основой построения различных экономико-математических моделей. Получение на практике оптимального решения представляет собой, как правило, весьма сложную задачу, в отдельных случаях даже неразрешимую, если не сделать определенных упрощающих предположений. Переход в экономике к таким более упрощенным задачам называется переходом к рассмотрению экономико-математических моделей планирования, управления, экономического анализа. Сложность осуществления такого перехода состоит в том, чтобы суметь выделить в рассматриваемой системе основные, главные элементы и пренебречь второстепенными, не оказывающими решающего влияния на ход управляемого процесса. Среди функциональных зависимостей, которые при этом могут быть введены, наиболее простой является линейная зависимость. Поэтому неудивительно, что именно на рассмотрение линейных моделей экономических систем прежде всего было направлено внимание математиков и экономистов.

Сейчас одним из наиболее хорошо разработанных и широко проверенных на практике методов решения задач оптимального планирования и управления является именно линейное программирование. Описанию теории линейного программирования и его многочисленных приложений в экономике посвящено большое число работ. В списке литературы, имеющемся в конце этой книги, указана лишь малая доля этих работ. Подробной, детальной разработке подверглись не только методы решения общей задачи линейного программирования, но и ряд специальных линейных задач, как, например, транспортная задача и др. [18].

Простые линейные модели позволяют описать с достаточной для практики точностью весьма широкий круг экономических ситуаций. Однако сложность и многообразие экономических задач часто не позволяют допустить такие серьезные упрощения, как пренебрежение нелинейностью и предположение о постоянстве коэффициентов в линейных уравнениях, которые делаются в простой линейной модели. Отказ же от этих упрощений позволяет построить модели более высокого ранга.

Значительный интерес представляет изучение методов решения нелинейных задач, в которых учитывается динамика (в частности, многошаговость) процесса, и задач с неопределенностями в коэффициентах, имеющими вероятностный характер. Разработке методов (алгоритмов) решения этих задач посвящены разделы математического программирования, именуемые динамическим и стохастическим программированием. Сразу же укажем, что подавляющее большинство алгоритмов разрабатывается таким образом, чтобы задачи соответствующего класса можно было решать численно с помощью электронных вычислительных машин.

Однако в настоящее время методы нелинейного программирования еще находятся в стадии разработки. Дело в общем случае осложняется возможным наличием не одного, а нескольких условно-оптимальных решений (относительных максимумов или минимумов), среди которых трудно выделить истинно оптимальное решение (абсолютный максимум или минимум), не проводя подробного исследования всех возможных решений задачи. Лишь в частном случае так называемых выпуклых или вогнутых функций относительные оптимальные решения совпадают с абсолютным, и имеется единственное оптимальное решение, для нахождения которого разработаны достаточно эффективные алгоритмы. Раздел нелинейного программирования, в котором изучаются методы нахождения оптимальных решений задач, обладающих соответствующими свойствами выпуклости или вогнутости, называется выпуклым программированием. Отметим, что в свою очередь линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования. В настоящее время методы выпуклого программирования сравнительно редко используются в практических экономических расчетах и являются уделом специалистов-математиков. Целью данной работы было также в какой-то степени восполнить этот пробел и попытаться представить некоторые наиболее развитые методы выпуклого программирования таким образом, чтобы показать экономистам и статистикам существующую уже сейчас реальную возможность их практического использования в экономических расчетах, где зачастую не очень высокая точность решений.

Динамическое программирование в основном хорошо применимо к задачам определения оптимальной стратегии в управлении процессами, развивающимися многоэтапно во времени. Вычислительный метод динамического программирования является весьма своеобразным по сравнению с методами линейного и нелинейного программирования. К сожалению, из-за вычислительных трудностей сейчас поддаются решению еще только самые простые динамические задачи. Однако благодаря тому, что для многих локальных задач строгое решение может быть получено только методом динамического программирования, если не считать прямого перебора возможных решений, этот метод является уже общепризнанным как в области экономики, так и в области технических дисциплин.

Областью применения методов стохастического программирования являются задачи планирования, управления и экономического анализа, для которых все или некоторые параметры являются по самой своей природе случайными величинами, определимыми лишь с известной степенью точности и достоверности. Использование методов стохастического программирования позволяет свести решение этих задач к решению в общем случае задач нелинейного или динамического программирования.

В книге не затронуты многие важные вопросы, в частности, не дана экономическая интерпретация двойственных задач и двойственных оценок, опущена транспортная задача в линейном варианте и рассмотрено решение только стохастической транспортной задачи. Совершенно не уделено внимание дискретному программированию. Эти вопросы в уже получили достаточно подробное освещение в литературе [6, 18]. Читателей, которые интересуются дискретным программированием, мы отсылаем к работе Корбута А. А. и Финкельштейна Ю. Ю. [7].

Авторы считают, что понять и усвоить все, что написано в данной книге, читатель сможет, зная лишь основы высшей математики, включающие элементы дифференцирования, интегрирования и теории вероятностей. Именно по этой причине более сложные математические понятия (градиент, производная по направлению и др.) сопровождаются в книге предельно краткими пояснениями. По понятным соображениям опущены все более или менее сложные доказательства, а для интересующихся приведена рекомендованная литература. Методы решения иллюстрируются примерами, решаемыми как в общем виде, так и в необходимых случаях с конкретными числовыми значениями.