Глава II. Матричные обозначения и схема воспроизводства

Деление отраслей производства на три подразделения

Исходная схема воспроизводства К. Маркса опирается, как мы видели, на деление отраслей производства на подразделение, производящее средства производства, и на подразделение, производящее предметы потребления. Такое деление эффективно для описания воспроизводства и обращения капитала в целом. Но для более подробного рассмотрения взаимосвязей между отраслями, составляющими эти два больших подразделения, необходимо выделить другие подотделы. Конечно, можно создавать такие подгруппы до тех пор, пока они не превратятся в отдельные отрасли, производящие свои особые виды продуктов, однако при такой крайней степени дезагрегирования нам не удастся понять главные особенности капиталистического способа производства, и мы не сможем дать его общее описание. В качестве компромиссного решения построим три подгруппы: I подразделение будет производить средства производства, II подразделение - предметы потребления для рабочего класса, III подразделение - предметы потребления для капиталистов^*.

^* (Отметим, что К. Маркс различает в подразделении производства предметов потребления две части, в одной из которых производит необходимые жизненные средства для рабочих, а в другой - предметы потребления для капиталистов. См.: К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 46, ч. I, с. 425-426.)

Под предметами потребления для рабочих мы имеем в виду такие необходимые жизненные средства, как продукты питания, одежда, мебель и т. д., которые приобретаются рабочими на свою заработную плату и позволяют им воспроизводить свою рабочую силу. Под предметами потребления для капиталистов мы понимаем и необходимые жизненные средства, и предметы роскоши, которые приобретаются на прибавочную стоимость.

Отметим, что имеется ряд объектов, таких, как лошади, зерно, уголь и т. д., которые могут использоваться не только как средства производства, но также и как предметы потребления рабочих или капиталистов. Мы считаем, что они принадлежат к первой, второй или третьей группе в соответствии с тем, как и кем они используются. Возьмем, например, лошадей. Лошадь фермера как тягловая сила на пахоте является средством производства. Но в виде конины она может быть предметом потребления для рабочего; если же какой-то капиталист держит лошадь для своего развлечения, то она становится предметом потребления капиталистов. Подобным же образом зерно, которое является средством производства в качестве семян для посева, может также стать и предметом потребления для любого из классов. Выбор нами именно такого деления совокупного общественного продукта на группы объясняется несколькими причинами. Во-первых, этим подчеркнуты различия между производительным и непроизводительным потреблением. Средства производства потребляются производительно. Предметы потребления, потребляемые рабочими, фактически восстанавливают их физическую и умственную способность к труду. Тем самым эти товары способствуют воспроизводству рабочей силы, и, следовательно, можно сказать, что они включены в воспроизводственное потребление. С другой стороны, товары, потребляемые капиталистами, из процесса воспроизводства просто извлекаются, не способствуя будущему производству. Поэтому можно сказать, что эти товары потребляются непроизводительно.

Вторая причина для принятия трехсекторной схемы заключается в том, что с ее помощью можно ясно показать как воспроизводство, так и реализацию или продажу постоянного и переменного капиталов и прибавочной стоимости. Освоив эту модель, можно без труда развивать ее в направлении включения большего числа секторов экономики.

Схема воспроизводства

Как известно, К. Маркс в своих схемах воспроизводства пользовался конкретными числовыми показателями, однако в данной трехсекторной модели мы для большей общности применяем алгебраические символы. В последующем изложении символ С обозначает постоянный капитал, V - переменный капитал, М - прибавочную стоимость, а W - общую стоимость продуктов отдельного подразделения. Для обозначения подразделения, к которому относятся эти продукты, применяются индексы. Запишем схему воспроизводства

Произведенные продукты распределяются по различным подразделениям следующим образом:

Рассмотрим эту схему более подробно.

Ход воспроизводства

Воспроизводство общественного капитала осуществляется следующим образом:

W₁ - продукция I подразделения, которая состоит из средств производства в форме машин и сырых материалов; часть ее, равная С₁, посредством внутреннего обращения в этом подразделении поступает для возобновления постоянного капитала в этом же подразделении; часть, равная С₂, продается во II подразделении и применяется там для возобновления постоянного капитала; наконец, часть, равная С₃, продается в III подразделении и также употребляется для возобновления постоянного капитала.

W₂ - продукция II подразделения, которая состоит из предметов потребления для рабочих; части ее стоимости, равные V₁, V₂ и V₃, будут приобретены на заработную плату рабочих, благодаря этому возобновляется переменный капитал в каждом из соответствующих подразделений.

W₃ - продукция III подразделения, которая состоит из предметов потребления для капиталистов; части ее стоимости, равные M₁, M₂ и М₃, будут приобретаться капиталистами каждого подразделения на соответствующую величину прибавочной стоимости.

Таким образом, в каждом подразделении возобновляется капитал, изношенный на протяжении текущего производственного цикла, и производство может продолжаться в следующем периоде в прежнем масштабе. При прочих равных условиях этот процесс простого воспроизводства может продолжаться и далее в течение сколь угодно длительного периода времени.

Представление в матричной форме

Попытаемся представить изложенное выше в более компактной и стройной форме^*. Для начала можно показать размещение элементов стоимости продуктов, создаваемых тремя подразделениями, в следующем виде:

^* (Начиная с этого параграфа, будут применяться элементарные матричные методы. Читатели, не знакомые с ними, могут обратиться к книгам по алгебре: Дж. Хедли. Линейная алгебра. Для экономистов. М., "Высшая школа", 1966; P. Liebeck. Vectors and Matrices, Pergamon Press, 1971. Надеемся, что это никого не отпугнет. Новые обозначения позволяют достичь большей простоты, а их сложность - лишь кажущаяся.)

Здесь продукция, произведенная в каждом подразделении, показана соответствующей строкой. Назовем данную матрицу матрицей стоимостного состава. Можно видоизменить ее, переместив элементы следующим образом:

Каждая отдельная строка здесь показывает поступление продукции одного из подразделений в другие подразделения. Назовем эту матрицу матрицей предложения.

Элементы этой матрицы отражают следующие потоки продуктов: С₁, V₂ и М₃ - элементы, расположенные на главной диагонали, используются для приобретения соответственно машин или потребительских благ в тех же подразделениях, где они производятся; после обмена эти величины не изменяют своего места в матрице. Вместе с тем С₂ и V₁ меняются местами; то же происходит и с элементами С₃ и М₁, V₃ и М₂. Транспонируя матрицу предложения подразделений, т. е. меняя местами строки и столбцы, получаем матрицу

отдельные строки которой показывают использование этих элементов в каждом из подразделений. Эту матрицу назовем матрицей спроса. Матрицу спроса можно считать результатом транспонирования матрицы предложения. Если матрицу предложения обозначить буквой А, то А^т - это матрица спроса, где символ Т показывает, что строки и столбцы матрицы А поменялись местами.

Первый столбец показывает поступление средств производства, созданных в I подразделении, для возобновления постоянного капитала во всей экономической системе; второй столбец показывает применение предметов потребления, созданных во II подразделении, для возобновления переменного капитала через потребление рабочих; третий столбец показывает приобретение предметов роскоши, созданных в III подразделении, капиталистами всех подразделений. Продукция последнего типа, конечно, непригодна для производительного использования. В производственный процесс, в результате которого в конце года будет создан набор продуктов

включаются только части капитала, которые образуют постоянный и переменный капиталы, а именно

Это преобразование множества капиталов в множество продуктов называется реальным преобразованием: так как элементы множества капиталов потребляются производительно, возникают новые продукты, имеющие различные потребительные стоимости, а увеличение их стоимости равно произведенной прибавочной стоимости.

Ход воспроизводства можно представить в следующем виде:

Условия равновесия

Для того чтобы воспроизводство осуществлялось непрерывно, без помех, необходимо равенство между суммой стоимостей всех создаваемых продуктов и суммой стоимостей продуктов, на которые предъявляется спрос. Это условие можно представить в следующем виде:

Исключая одинаковые члены в обеих частях уравнений, получим:

Указанные равенства выражают условие равновесия для простого воспроизводства. Отметим, что каждое из этих равенств является следствием двух остальных.

Обращение в многоотраслевой схеме

До сих пор мы рассматривали проблему воспроизводства только в разрезе трех подразделений. Посмотрим теперь, что происходит при делении производства на большее число отраслей. С ростом общественного разделения труда средства производства и предметы потребления приобретают все более специализированное назначение. Среди средств производства выпускаются такие орудия труда, как токарные и фрезерные станки, орудия для обработки земли, тракторы, машины для швейных производств, оборудование для пивоваренных заводов, ткацкие станки, печатные машины, строительное оборудование и т. д. В массе сырьевых продуктов и вспомогательных материалов - сталь, дерево, зерно, хлопок-сырец, шерсть, целлюлоза, камень, уголь, нефть и т. д. В число предметов потребления входят такие продукты, как рис, хлеб, масло, сыр, вино, табак, а также другие товары, среди которых нетрудно выделить группы: ювелирные изделия, мебель, культурно-бытовые товары и т. д.

Чтобы рассмотреть вопрос в общей форме, предположим, что каждый вид продукции производится отдельной отраслью; каждую отрасль мы будем помечать своим номером 1, 2, ..., n. Таким образом, всего выделяется n отраслей. Продукция, выпущенная в этих отраслях, по стоимости равна W₁, W₂, ..., W_n. Многие из производимых продуктов используются производительно в других отраслях. Для того чтобы показать эти потоки продуктов, обозначим объемы продукта W₁, поставляемые во все отрасли 1, 2, ..., n, как а₁₁, а₁₂, ..., а_1n, объемы продукта W₂, поступающие во все отрасли 1, 2, ..., n, - как a₂₁, a₂₂, ..., a_2n и т. д. Таким образом, можно составить матрицу

показывающую, как продукты каждой отрасли распределяются между всеми остальными отраслями. Это матрица предложения. Конечно, не всякий продукт, производимый в той или иной отрасли, непременно поступает во все другие отрасли, так что некоторые элементы этой матрицы могут быть равными нулю.

Элементы а₁₁, а₂₂, ..., а_nn, которые расположены на главной диагонали, пересекающей матрицу из верхнего левого угла в правый нижний угол, называются диагональными элементами. Как показывают индексы, соответствующие товары потребляются в тех же отраслях, где они производятся. Другие товары обращаются между отраслями - например, товары а₁₂, a₁₃, ..., a_1n, которые поступают из первой отрасли во вторую, третью, четвертую и т. д. вплоть до n-й отрасли.

Как мы уже видели в трехсекторной схеме, элементы матрицы предложения в результате процесса обращения меняются местами следующим образом:

Если посмотреть на строки этой матрицы, то видно, что каждая строка содержит сумму стоимостей тех продуктов, на которые предъявляет спрос данная отрасль. Поэтому приведенную матрицу можно назвать матрицей спроса.

Для беспрепятственного осуществления обращения суммарный спрос, так же как и ранее, должен равняться суммарному предложению:

Если определены некоторые n - 1 из указанных равенств, то автоматически выполняется и последнее оставшееся равенство. Таким образом, условия равновесия задаются (n - 1)-м равенством.

Агрегирование отраслей в три больших подразделения

Предыдущая модель в достаточно общей форме выражает обращение между n отраслями. Однако чрезмерная детальность такой модели не позволяет выделить в этом круговороте товаров характерные для капитализма особенности. Поэтому, опираясь на метод абстракции, сведем все множество представленных отраслей в трехсекторную модель, которую мы уже рассматривали.

Разобьем все n отраслей на группы так, чтобы отрасли с первыми номерами 1, 2, ..., k вошли в I подразделение, отрасли с номерами k + 1, ..., l - во II подразделение, а отрасли с номерами l + 1, ..., n - в III подразделение. При такой классификации матрица предложения делится на девять подматриц:

В результате процесса обращения каждая подматрица меняет свое место, и вся матрица в целом превращается в матрицу спроса. Как показано выше, матрица спроса - это та же матрица предложения, в которой строки и столбцы поменялись местами. Таким образом, если А - это матрица предложения, то матрицей спроса является транспонированная матрица A^т, и общий спрос представляется в виде

Как мы видим, продукты A₁₁^т, А₁₂^т, A₁₃^т применяются для возобновления постоянного капитала соответственно в I, II и III подразделениях, продукты A₂₁^т, А₂₂^т, A₂₃^т применяются для возмещения переменного капитала, а A₃₁^т, А₃₂^т, A₃₃^т - это предметы роскоши, на которые капиталисты расходуют принадлежащую им прибавочную стоимость. Вследствие этого постоянный и переменный капиталы возобновляются и снова образуют матрицу производительного капитала

Эти капиталы не только переносят свою стоимость, но посредством той своей части, которую составляет переменный капитал, они присоединяют прибавочную стоимость, так что стоимость новых продуктов включает следующие составные части:

В итоге, разделив все производство на n подотделов и сгруппировав их затем в три больших подразделения, мы можем записать весь процесс капиталистического воспроизводства в следующем виде:

На сколько бы тысяч или десятков тысяч производственных секторов ни разделялась экономическая система, мы можем объединить их в три подразделения для того, чтобы описать основные структурные процессы.

Рассмотрим теперь вкратце хорошо известную таблицу затрат - выпуска В. Леонтьева. Он дает ей следующее пояснение:

"Каждый вид деловой активности, а также и домашнее хозяйство обозначены некоторым номером: 1, 2, 3, 4 или 5. В каждой строке содержатся статьи дохода (выпуск продукции) для отдельного вида деловой деятельности (или для домашнего хозяйства), подразделенные в соответствии с тем, откуда поступает плата за продукцию, или, что в итоге то же самое, в соответствии с назначением продуктов. Так, например, числа в строке 1 показывают, что продукт фирмы 1 в течение некоторого периода распределялся следующим образом: фирма 2 закупала эту продукцию в размере V₂₁, фирма 3 - в размере V₃₁, а фирмам 4 и 5 было продано соответственно V₄₁ и V₅₁. Последний элемент строки  

представляет собой общую сумму этих элементов и показывает общее производство фирмы или ее валовой доход (приход). В последующих строках подобным же образом показано распределение продукции фирм 2, 3, 4 или 5.

Схема счетов для описания межотраслевых операций

Если считать эту таблицу по вертикали столбец за столбцом, то она покажет расходную часть соответствующих счетов. Например, последний элемент 

первого столбца показывает суммарные расходы фирмы 1, остальные графы в этом столбце обозначают распределение ее расходов по всем различным источникам поставок: υ₁₂ получено от фирмы 2, υ₁₃ - от фирмы 3 и т. д. Последующие столбцы описывают распределение издержек фирм 2, 3, 4 и 5.

Общий итог S всех операций, стоящий в нижнем правом углу таблицы, можно получить, либо складывая доходы всех фирм, как показано в последнем столбце, либо складывая их расходы, как в последней строке. Хотя, как отмечено выше, необязательно, чтобы для каждого отдельного предприятия или домашнего хозяйства выдерживался баланс кредитной и дебетовой сторон этого счета, однако сумма расходов всех фирм и домашнего хозяйства должна, по очевидным причинам, равняться общему итогу всех их доходов"^*.

^* (W. Leontief. The Structure of the American Economy, Second ed., Oxford University Press, 1951, pp. 12-14.)

При внимательном изучении таблицы возникает немало вопросов.

1. Приведенная таблица, как свидетельствует ее название, является лишь схемой операций, она отражает лишь процесс обращения. Следовательно, процесс воспроизводства в целом она не описывает.

2. Поскольку данная таблица включает только обращение товаров, в ней не отражаются особенности и специфические характеристики капитализма. Вместо того чтобы сосредоточиться на обмене между трудом и капиталом, нам показывают только лежащее на поверхности движение между "фирмами" и "домашними хозяйствами". Не проводится, например, четкого разграничения между капиталом и прибавочной стоимостью. Нет также различения категорий постоянного и переменного капиталов. В таблице выделяются лишь доход и расход, выпуск продукции и затраты. Нам не удастся обнаружить в этой таблице органического строения капитала, нормы прибавочной стоимости или нормы прибыли, сколько бы мы ни пытались это сделать.

3. Таблица не дает никакого представления о стоимости. Каждая операция выражается с помощью эмпирических текущих цен, так что ничего нельзя сказать о взаимосвязях между стоимостью, ценой, ценой производства, рыночной ценой и монопольной ценой, которые и составляют основу нашего исследования.

Воспроизводство в расширенном масштабе

К. Маркс изучал расширенное воспроизводство только на двухсекторной модели. По указанным выше причинам мы применяем трехсекторную модель, и так как мы уже научились выражать процесс простого воспроизводства с помощью матриц, то будем изучать тем же способом и расширенное воспроизводство.

Во-первых, стоимость произведенных за год продуктов, как и при простом воспроизводстве, представим в виде

^* (Точнее, продукта. - Прим. ред.)

Эти продукты имеются в начале следующего финансового года: их стоимостная структура выражается матрицей

При простом воспроизводстве вся прибавочная стоимость идет на личное потребление капиталистов, однако теперь она делится на четыре части.

Первая часть - это добавление к постоянному капиталу в каждом подразделении. Обозначим эти величины через ΔС_i (i = 1, 2, 3). Вторая часть - добавления к переменному капиталу, которые мы обозначаем через ΔV_i (i = 1, 2, 3). Третью часть составляет прибавочная стоимость, необходимая для сохранения личного потребления капиталистов на уровне предшествующего года. Обозначим эти величины через U_i (i = 1, 2, 3). Четвертую часть составляют добавления к личному потреблению капиталистов, которые обозначим через ΔU_i. Итак, при расширенном воспроизводстве прибавочная стоимость в каждом подразделении распадается на следующие компоненты:

Таким образом, исходя из целей накопления, продукт каждого подразделения представлен в виде

Перепишем эти выражения, обозначив для сокращения записи

Обращение продуктов каждого подразделения

Здесь  

- это стоимость средств производства, необходимых для возобновления и расширения постоянного капитала соответственно в I, II и III подразделениях. Аналогично этому  

- это предметы потребления для рабочих, необходимые для возобновления и расширения переменного капитала в I, II и III подразделениях, а  

- соответственно стоимость предметов, необходимых для возмещения и расширения личного потребления капиталистов. Поэтому матрица предложения продуктов при расширенном воспроизводстве принимает форму

Как мы уже видели ранее, процесс обращения этих продуктов отображается матрицей, полученной в результате поворота данной матрицы вокруг ее главной диагонали, т. е. ее транспонирования:

Предметы потребления капиталистов выпадают из производительного использования в процессе воспроизводства, так что восстановленный и расширенный капитал приобретает следующую структуру:

Эти расширенные капиталы участвуют в производстве в следующем году продукта, имеющего стоимость

Стоимостной состав продуктов, брошенных в процесс обращения, запишем с помощью матрицы

Теперь весь процесс воспроизводства в расширенном масштабе можно представить в следующей форме:

Условия равновесия

Для беспрепятственного осуществления процесса воспроизводства спрос и предложение в этих трех подразделениях должны уравновешиваться в каждый год производства. Например, для первого года производства должны выполняться следующие равенства:

Исключая одинаковые члены в обеих частях каждого из этих уравнений, получаем

Таковы условия равновесия при расширенном воспроизводстве.

Все изложенное выше относится к трехсекторной схеме воспроизводства, однако предложенный подход может быть применен и в случае построения схем воспроизводства в разрезе большего числа производственных подразделений.